线性代数考研重点知识归纳 考研数学线性代数复习步骤指导

线性代数考研重点知识归纳

 一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式––具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的比较综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵相关的重要公式、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式––矩阵形式和向量形式二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立––印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系––齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩&rarr线性相关、无关&rarr线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以经过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

(3)非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容––既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。

本章知识要点如下：

1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3.矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵使其可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

本章知识要点如下：

1.二次型及其矩阵表示。

2.用正交变换化二次型为标准型。

3.正负定二次型的判断与证明。

考研数学线性代数复习步骤指导

1.掌握基本概念

在线代中，定义特别重要，定义往往是掌握原理的出发点的，例如线性相关无关，矩阵的关系中等价，相似，合同等。把这些说法用数学语言严格的表示出来就是定义，然后再分析相互之间有什么联系。考研数学中会出现一些考查说法的选择题，这类题就是专捡那些易混淆部分来考的，命题人可谓是挖空心思，无孔不入，大家可以翻翻历年看看就明白了。

线性代数的概念很多，重要的概念有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

 2.弄清联系和区别

线性代数内容前后联系紧密，相互渗透，各知识点之间有着千丝万缕的联系，因此解题方法灵活多变。记住知识点不是难事，但要把握好知识点的相互联系，非得下一番功夫不可。首先要把握定理和公式成立的条件，一定要注意同时把某一知识点对应的适用条件掌握好!再者要弄清知识点之间的纵横联系，另外还有容易混淆的地方，如矩阵的等价和向量组的等价之间的关系，线性相关与线性表示等。掌握它们之间的联系与区别，对大家做线性代数部分的大题也有很大的帮助。

3.建立知识框架

基础阶段线代要大概围绕以下内容建立知识框架，即线性方程组，向量，秩，矩阵运算。建立知识框架，类似于围棋中的布局，要想下好棋，大局观非常重要，这在线性代数尤其重要。

线性代数的学习切入点：线性方程组，线代贯穿的主线就是求方程组的解，换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科，不管是向量的线性相关，线性表示，还是求特征向量，都是围绕线性方程组。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)方程组是否有解，即解的存在性问题(2)方程组如何求解，有多少个解(3)方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

线性方程组求解主要是高斯消元法，在利用求解的过程中涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解的问题，需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算，即向量。例如大家可以通过一些简单例子体会线性相关和线性无关(零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等)。也可以从多个角度(线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度)体会线性相关和线性无关的本质。这部分内容概念多，定理性质也多，光凭记忆是很难掌握的。

秩是一个非常深刻而重要的概念，就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组有解的充分要条件：若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。秩的灵活运用，充分体现了线性代数中推理和抽象性强的特点，同学们在做题时要好好体会，因此有要进一步好好研究向量组的秩的计算方法。在研究线性方程组的解的过程当中，同学们注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有要对矩阵及其运算进行专门研究，建立这方面的知识框架。

4.做题巩固

初步掌握知识点以后要做什么?自然是用于解题了，做题一定要建立在完成知识点的总结的基础上，好将自己的总结笔记分成两类，一类是知识点笔记，一类是题型思路归纳，这样一来反馈学习效果更明显，思路更清晰。一定要加强训练，做题巩固，并注重逻辑性与叙述表述。

上文小编为大家分享了“线性代数考研重点知识归纳以及考研数学线性代数复习步骤”相信大家通过以上复习建议，并不断地归纳总结，初步搞清知识点的内在联系，就能逐步使所学知识融会贯通，这就为强化阶段的进一步学习打下了坚实的基础。