如何理解微分中值定理？

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。

罗尔定理

内容：

如果函数f(x)满足：

在闭区间[a,b]上连续;

在开区间(a,b)内可导;

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧(方程为)是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：

弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。

拉格朗日定理

内容：

如果函数 f(x) 满足：

1)在闭区间[a,b]上连续;

2)在开区间(a,b)内可导。

那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线(a，b)的割线的斜率相同;或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线(a，b)的平行线

柯西定理

内容：

如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0

那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

成立

[中值定理]分为：微分中值定理和积分中值定理：

以上三个为微分中值定理定积分第 一中值定理为：

f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)(存在ξ∈[a,b]使得该式成立)

注：积分中值定理可以根据介值定理推出所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。

泰勒公式

内容：若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

(注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。)

推论：麦克劳林公式

内容：

若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.

达布定理

内容：

若函数f(x)在[a,b]上可导，则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.

推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导，并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。

洛必达法则

内容：

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零;

(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;

(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

又设

(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零;

(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0;

(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。